考研反函數的二階導數視頻

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二階導數

二階導數記作

即y''=（y'）'

例如：y=x?的導數為y'=2x，二階導數即y'=2x的導數為y''=2。

原函數的導數等于反函數導數的倒數。

設y=f【x】,其反函數為x=g【y】,

可以得到微分關系式：dy=【df/dx】dx,dx=【dg/dy】dy.

那么,由導數和微分的關系我們得到,

原函數的導數是df/dx=dy/dx,

反函數的導數是dg/dy=dx/dy.

所以,可以得到df/dx=1/【dg/dx】.

擴展資料：

反函數存在定理

定理：嚴格單調函數必定有嚴格單調的反函數，并且二者單調性相同。

在證明這個定理之前先介紹函數的嚴格單調性。

設y=f【x】的定義域為D，值域為f【D】。如果對D中任意兩點x1和x2，當x1y2，則稱y=f【x】在D上嚴格單調遞減。

證明：設f在D上嚴格單增，對任一y∈f【D】，有x∈D使f【x】=y。

而由于f的嚴格單增性，對D中任一x'x，都有y''>y。總之能使f【x】=y的x只有一個，根據反函數的定義，f存在反函數f-1。

任取f【D】中的兩點y1和y2，設y1

若此時x1≥x2，根據f的嚴格單增性，有y1≥y2，這和我們假設的y1

因此x1

如果f在D上嚴格單減，證明類似。

y=x＋e∧xy'=1+e^x所以反函數導數=1/y'=1/【1+e^x】

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